For English speakers: We consider the graph of y = x^2 and the points P, Q on the graph of the parabola. Let h be the y coordinate of the middle point of P and Q. (1) Let L be the length of the line segment PQ, and m be the tangent of PQ. Express h as a function of L and m. (2) Find the minimum of h if the value of L is fixed. (1) We define that P(α, α^2), Q(β, β^2) where α, β are real numbers. Hence we can easily find that h = (α^2 + β^2)/2, L^2 = (α - β)^2 + (α^2 - β^2)^2, m = α + β. Thus we obtain that h = (m^2 - 2*αβ)/2 ...... (*), L^2 = (α - β)^2*{1 + (α + β)^2} = (m^2 - 4*αβ)*(m^2 + 1) ...... (**). Therefore we complete the question if we eliminate αβ from the formulas (*) and (**). The answer is h = 1/4*{m^2 + L^2/(m^2 + 1)}. (2) We put t = m^2 + 1. As m can be taken all real numbers, we obtain the domain of t is t ≧ 1. Thus h = 1/4*(t - 1 + L^2/t). As the inequality of arithmetic and geometric means, we obtain that h ≧ 1/4*(2L - 1) with equality if and only if t = L. Nevertheless, t can be taken L unless 0 < L < 1. We consider the other case, which is same as 0 < L < 1. We can easily find that h = 1/4*(t - 1 + L^2/t) increases monotonically and takes the minimum value at t = 1 by differentiating h with respect to t. Therefore the answer is 1/4*(2L - 1) (if 1 ≦ L), L^2/4 (if 0 < L < 1).
今日もわかりやすい解説をありがとうございます。
こちらの問題の結果からわかることを文章にすると、次のようになります。
ます、内側がパラボラアンテナ(回転放物面)の形をしたコップを用意します。y = x^2 のグラフを y 軸で回転させたときの形、という意味です。次に、コップに比べて長さが十分短い、太さが一様な棒を用意します。
すると、その棒をコップに投げ入れると、棒の長さが 1 より長ければコップ内で斜めになって止まり、長さが 1 以下ならばコップ内で水平になって止まることがわかります。なぜなら、h の最小値は棒の重心が最も下になる位置を意味するからです。
(ただし、コップと棒の間にはたらく摩擦は無視しています。)
でんがんアウェー感ww
For English speakers:
We consider the graph of y = x^2 and the points P, Q on the graph of the parabola. Let h be the y coordinate of the middle point of P and Q.
(1) Let L be the length of the line segment PQ, and m be the tangent of PQ. Express h as a function of L and m.
(2) Find the minimum of h if the value of L is fixed.
(1) We define that
P(α, α^2), Q(β, β^2)
where α, β are real numbers. Hence we can easily find that
h = (α^2 + β^2)/2,
L^2 = (α - β)^2 + (α^2 - β^2)^2,
m = α + β.
Thus we obtain that
h = (m^2 - 2*αβ)/2 ...... (*),
L^2 = (α - β)^2*{1 + (α + β)^2}
= (m^2 - 4*αβ)*(m^2 + 1) ...... (**).
Therefore we complete the question if we eliminate αβ from the formulas (*) and (**). The answer is
h = 1/4*{m^2 + L^2/(m^2 + 1)}.
(2) We put t = m^2 + 1. As m can be taken all real numbers, we obtain the domain of t is t ≧ 1. Thus
h = 1/4*(t - 1 + L^2/t).
As the inequality of arithmetic and geometric means, we obtain that
h ≧ 1/4*(2L - 1)
with equality if and only if t = L. Nevertheless, t can be taken L unless 0 < L < 1.
We consider the other case, which is same as 0 < L < 1. We can easily find that
h = 1/4*(t - 1 + L^2/t)
increases monotonically and takes the minimum value at t = 1 by differentiating h with respect to t. Therefore the answer is
1/4*(2L - 1) (if 1 ≦ L),
L^2/4 (if 0 < L < 1).
たくみ先生、初見で解けてこんなにも分かりやすい解説をできるってまーーーーーーーじですごい
文系向きに相加相乗で処理するも、場合分けに気付いてすかさず微分に切り換えるところは流石w
初見でサクッと解けるの本当に凄いな
最後自分のチャンネル言うの諦めてて草
ゆるーい雰囲気よき
（２）14:12辺り：新たに導入した変数t=m^2+1（mは実数）の範囲を調べる際に、単に
「m^2の値が必ず0以上なので、t≧1となる。tはこれ以外の値を取り得ない」
とだけ述べられているようです。しかし、厳密には
「tの値域がt≧1全体となること」
を述べておく必要があり、そのためには、
「m^2が、Lの値とは独立に、0以上の任意の実数値を取り得ること」…（＊）
を確認しておかねばなりません。
（＊）は、任意の固定長Ｌを有する線分を、その両端が放物線y=x^2に接するように保ちながら左から右へとすべらせていくとき、線分の傾きmの値が-∞から+∞まで連続的に増加するであろう様子を思い浮かべれば、直感的に明らかでしょう。
あるいは、次のように、数式によって厳密に示すことも可能です。まず、（１）の過程から、
m=α+β …①
L^2 = (β-α)^2 {1+(α+β)^2} …②
であることがわかっています。ここで、α0かつm-2α=β-α>0であることに注意して、これをαについて解けば
④ ⇔ (m-2α)^2 = L^2 / (1+m^2)
⇔ m-2α = L/sqrt(1+m^2)
⇔ α = (1/2){m - L/sqrt(1+m^2)} …⑤
となります。ゆえに、任意の実数mと正の実数Ｌとを（互いに独立に）与えられたとき、題意を満たす２実数α, β（すなわち線分PQの端点のx座標）が⑤および③から決定され、従って存在することになります。
これはすなわち、Lの値とは独立に、mが任意の実数値を取るようにできることを意味します。従ってまた、Lの値とは独立に、m^2が0以上の任意の実数値を取り得ることになります。//QED
=====================================================
（１）については、基本的には同じことですが、直線PQの方程式をy=mx+nと置いてから解と係数の関係を使う必要はありません。P, Qの座標をそれぞれ
(α, α^2）, (β, β^2) （α,βは相異なる実数）
と置けば、線分PQの傾きmは
m = (α^2-β^2)/(α-β)
= α+β …⑥
線分PQの長さLについては
L^2 = (α-β)^2 + (α^2-β^2)^2
=... ={(α+β)^2 - 4αβ}{1+(α+β)^2} …⑦
PQの中点のy座標hは、
h = (α^2+β^2)/2
= {(α+β)^2 - 2αβ} / 2 …⑧
となり、それぞれα,βの基本対称式α+β, αβを用いて表せてしまいます。
後は、⑥⑦からα+β, αβをm,Lで表しておき、それを⑧に代入すれば、hをm,Lで表せます。
=================================
そういうわけで、たくみさんにしては珍しく手間取っていたという印象です。照明トラブルがあった上に、
（１）では運悪く、やや面倒な方の文字の置き方を選んでしまい、
（２）では文系の方にもわかりやすいように相加相乗平均で攻めようとしたが、問題のトラップに陥り、結局微分を使わざるを得ない羽目に。
というわけで３重の不運でした。日頃の行いがよほど悪いからでしょうか？
それでも、戸惑いながらも制限時間内に問題を解き切ってしまうところはさすがですね。
女性ファンがまた増えたことでしょう。
次回を楽しみにお待ちしています。
たくみさんの顔も基本対称式
星天. つまりイケメン
tでおくのめっちゃためになりました。微分だけでやったら、計算地獄で死にました
編集なしは怖いって言うけどなしでも結構良い感じ
2018/12/11の鈴木先生の問題と同じく、直線の傾きがmと既知なので、PQが斜辺、残りの2辺がx軸、y軸と平行な1:|m|:√(m²+1)の直角三角形を想定すれば、|p-q|とLの比がすぐにわかり、(1)はもうちょっとコンパクトになりそうです。
(1)
P, Qのx座標をp, qとおき、題意の放物線をy=f(x), 直線PQをy=g(x)とおく。
PQの傾きがmであるから、|p-q|:L=1:√(m²+1)より、|p-q|=L/√(m²+1)…①
また、f(x)-g(x)=(x-p)(x-q)=x²-{(p+q)x-pq}より、p+q=m …②
ゆえに、h=(p²+q²)/2={(p+q)²+(p-q)²}/4={m²+L²/(m²+1)}/4
(2)
図形的にmがすべての実数をとるのは明らかである。
hの条件は、∃m∈R, h={(m²+1)+L²/(m²+1)-1}/4 であるが、これは束縛変数をx=m²+1と置き換えて
∃x∈R { h=(x+L²/x-1)/4 ∧ x≧1 }と同値である。
h(x)=x+L²/x (x≧1)とおけば、hはh(x)が最小のとき最小となる。
i) L≧1のとき、
x, L²/xともに正なので相加相乗平均よりh(x)≧2L、さらにh(L)=2Lであるから、
h(x)の最小は2Lであり、hの最小は(2L-1)/4
ii) 0
こんな記述をする入試受けたことがないからわからないのですが、
hをp,qで表す直前に
「ここでP,Qのy座表はそれぞれp^2,q^2であるから、その中点のy座表hは」
みたいなことは書いた方が…いや、さすがに書かなくてもいいんですかね(; ˊᵕˋ )笑
いつも素晴らしい解答ありがとうございますm(_ _)m
@@ppplite さん
もちろん書いた方が確実だと思いますが、私が受験生でしたら、図に書き込んでおいて、図よりと一言書いておくくらいだと思います( 1:|m|:√(m²+1)の直角三角形のくだりも本来なら図を描きたいところなのですがコメント欄では難しい… )。
本番では19点の答案から20点の答案に持っていく努力をするよりはすべての問題である程度の得点を確保するほうがコストパフォーマンスがよいので、とにかく答案を成立させて、もし時間が余ったら、丁寧な記述を追加するのが実戦的でしょうか。
@@いと-m5w 確かに、図を描いたらそれでいいですね
数学はコメントだと記述しにくいですよね…笑
他の問題を解く方が大事だと思います
ちょっと細すぎましたね笑
すみません…
解き方はそうかもしれないけど、予備校のノリでやるなら、使い回しが効きやすい解法にしないとね。
3人のホーム感が完成されすぎててアウェー感すごいなあ
東大の過去問解かされると分かっているから過去問全部暗記してきた、としか思えないくらいスラスラ解けるんだな。
どっかのインターン生が考えそうなことだな
ざっと15年分くらいは暗記してるだろうね。
ぶっちゃけ初見じゃなさそう
最強に賢い上にユーモアたっぷりのたくみさん。なかなか珍しいタイプかも？ それだけ脳みそが"柔軟"なんすかね!?(^-^)v
L,m,hを全部αとβで表したあとは同値変形のゴリ押ししかできなかった...
対称式の発想、覚えておきます。
数学の魔術師はすでにArthur Benjaminというひとが先にいました。
(1)PとＱx座標をそれぞれp、qとおくと、h=(p^2+q^2)/2であり、m=tanxとするとp^2ーq^2=Lsinx、p+q=Lcosxなのでp、qをLとmを用いてhを求めとおわり
(2)は(1)で求めたhを微分すればすんなりと求められました。
微積と基本的な三角比さえ知っていれば閃きとかはいらないので、これはぜひ満点とりたいですね。
これってp,qどちらかまたは両方が負の場合も考慮してますか？
なぜだろう、たくみさんの数学解説動画見てると自分がすごい賢くなったようになる…。これが魔術師の力なのか…。
ke i 実際賢くなってないっていうね…
ホームビデオで草
場合分け気づけて嬉しい😃🎶
太いペン欲しいよー！
たくみさんのときよくインク切れしてるので1年分プレゼントしてあげましょう
予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」 さん
タクミさん、申し訳ございませんでした。新品を用意しておいたのですが‥‥筆圧の問題でしょうか。極太タクミペンを用意しておくので、次回もよろしくお願い致します。
@@pona201 草
僕もたくみさんみたいに数学の大魔術師になれるように頑張ります。
34分で完答
最後mで微分してしまったのが痛い
tとおけば微分も簡単だったか
あと、新しい文字(n)を避けようとして直線PQの式は出さず計算したけど、あえて新しい文字使った方が楽なんだなーと思った
頑張ります(受験生)
4人とも好き。がんばて
この程度の問題をパッと解けるかが旧帝大に受かるか落ちるかの指標になりそう
おはようございます。たくみさん、さすがですね。わかりやすいですね。あと先生の動画をみていれば方針がたちそうですね。これは、文系の問題でしょうね。理系にしてはやさしすぎるので。ありがとうございました。良い１日をお過ごし下さい。
ドラゴン堀江最強講師
これ、引っ掛けだよねー。フツーにm=0の時、最小のパターンかと思うよね。
ノー編集最高👍
東大生ってこんなの解いてんだよなあ
基本対象式で表して解と係数との関係って流れがなんか興奮した(謎)
さすが数学のまじゅちゅしや
ありがとうございました
途中僕「動画の前にわかりやすい説明とか考えてたのかな、流石に初見でこれは早すぎるよね....」
ヨビノリさん「……えー、時間がかかってしまいましたが」
！？！？「ぼく」
0:30 だめだ、DGAがこの3人に全くハマらんww
良くなりたいんあたまが それなwあのメンバーでこそ輝くのかな？
編集なしの面白さ
東大はこのような問題が好きですね、'74年にy=x*2上の２点を結ぶ直線上の中点のy座標がx軸に一番近い点を求めよという問題が形を変えて繰り返し出題されてますね。
こういうのはノー編集がええわ
5度目の登場ってことは5回も寿司食ってんのか！羨ましいなおい！
駿台センプレ行ってきます。
寒いけど頑張って！
ワイもセンプレ２日目やわ。おまけに東進のセンター本番レベル（大嘘）模試も。
がんばってください！！！
noa 109 なんで嘘？
登録者1000人超えたら動画投稿始めます センターより難しいからだと思います笑
対称式にパッと気づけなかった自分がいる…笑
タメになりました
基本に忠実な良問ですね
この問題は現場で完答出来ないと東大はキツいだろうなー
楽しそうだなおい
よびのりさんが輝いてるので
ライトは必要ないですよ(イケボ)
Lの場合分けに思いが至らなかった。
それでも、いままでたくみさんが解説した問題では一番正解に肉薄した感じ。
nice question and nice explanation....
途中のカラオケタイムはなんだったのか
分数関数出てきた瞬間真っ先に微分したわw
α karma それこそ数3の弊害
最初と最後で噛むスタイル
今回のたくみさんの服装を見て、上野クリニックのCMのタートルネックの人たちを思い出しました(唐突)
最近滅茶滅茶コラボしてるね
よびのりの安心感半端ない
（１）「PQの長さLと傾きｍをｈを用いて表せ」って問題だと思ってずっと解けねぇなぁって悩んでたわ
大集合やん
置換すれば相加・相乗平均が使いやすくなるんですね
勉強になりましたm(*_ _)m
さすが数学界のあんぱんまんさん(*_*)
流石ドラゴンたくみ
初見で20分もかからずに解くってすごいですね…( ﾟдﾟ)
でも実際の受験生も初見で２０分くらいで解けないと合格できないのでは？
@@azure1296 うーん、やっぱりそんなものですかね…
posi48 けど初見問題かつ色々と説明しながらこの時間で解けるのはすごすぎです！
posi48
考える時間＋解く時間20分で解いても4完は行けるから、考える時間がないアンパンさんは相当強いと思う
問題に寄るよね、この問題は簡単すぎるからね
やっぱたくみさんすごい
せっかく定義域書いてるし相加・相乗平均使う時は2変数が正の数ってことも言っておくとグッド👍
先生、年末なのでペンも新しくしてくださいね〜
あと、古いペンは処分した方がスッキリしますよ。年末だしね！
つええ〜。1問目から間違えてしまった
hを(β^2－α^2)÷2にしてしまった😭
teru kome さん
同じく…情けない
@@9cmParabellum
返信遅れてすいません！
引き算してたの、傾きの計算とごっちゃになってたんですね。
わりとこういうミスしてて、またミスったなぁって軽く捉えてたけどそういうことだったんですね。
見直しするときに図形的にとらえるのやってみます。
東進センタープレで化学一問落とした。死にたい。 全国１位を取ることが受験までの目標だったのにーーー。
わしも同じ事を駿台センプレでやってもうた…
青ペン使えば黒ペンより見やすくていいのに
これって最後の場合分け、L>1の時と0
とりあえずゴメン
値域全てについて議論出来てるのでどっちでも大丈夫ですよ
ただ等号成立条件に基づいて場合分けしてるからL≧1のほうが自然ですが
bea ch ご丁寧にありがとうございます😊
あなたとの性別も等号成立しそうです
相加相乗平均で等号成立しない時を考える問題始めて出会ったな
武田マリオ
サラっとその問題を持ってくる東大が恐ろしいな、経験とかじゃなくて気付きが重要とか
NAKA PA
というより「相加相乗平均を脳死でやってませんよね？」っていう感じ。あのめっちゃ有名なπ>3.05に通じるものがあるよね。東大らしい問題ではある。
あぁなるほど、そうだな
愛想悪い訳じゃなくてそうだな
ちーばー 公式覚えるだけじゃ駄目やぞってことですか、痛いとこつかれた感じです
0
コメント欄にあったように見事にX=0でやってた…
動画と全然関係なくて申し訳ないんですが、主的に楽な半角の公式の求め方紹介してください
1/(m^2+1)とmが傾きときたからm=tanθと置いてしまったけど爆死した
マジックの購入お願いします
え、これってさ
P,Qの座標をαとβで置いた時点から、もうすでに解と係数の関係のことを想定してたってことやんね？？？
すごくない？
Tony Stark
二次関数と直線の交点は2式を連立すれば最終的にただの2次方程式に帰着するので、こういう問題ではよく使う手法です。
恐らく簡単な例題が教科書にも載ってた気がします…。
@@山田太郎-d3i7k それはまあたしかに分かるけど😭
定石やで！チャートに書いてあった
問2でhのところをL²って書いててずっとどうしてそうなるのか悩んでたらミスだった😢
ベクトル使って解く方が速そうですがやり方がいまいちわからない
綿貫塾
質問です。
m2+1をtで置くのは、微分を楽に表現するためですか？
智行池田
m^2とL/(m^2+1)に対し相加相乗つかうより
t-1とL/tに使った方が分かりやすいという人もいれば無駄な置換はミスの元だと思ってやらない人もいると思います
たくみさんは、授業の性質上綺麗にしなきゃいけませんしね
自分が楽だと思うのを優先したら良いと思います
解答を作る、授業を行うなど、立場によって優先事項は異なります。
それぞれの立場でのメリットデメリットを整理把握できました。ありがとうございます
もしかして初めての字幕なんじゃないですか。
画面ギチギチで草
こういう動画見て思うこと
RUclips って有料でいいんじゃない？
この点は出ねぇよぉぉ‼︎
やっぱり車大に見える…
薄くて見にくい…
(1)計算が煩雑で詰んだw
任意の対称式が基本対称式の結合で書けることってどうやって示しますか？
数日前の滋賀大の問題に似てると思ったけど、あっちは面積を求める問題でしたね(^.^)
河合塾のテキストに載ってたな
単調増加でなぜ最小値がt=1?
質問なんですけど0＜t＜1のときt=1が最小値にならない時はあるんですか?
@@9cmParabellum
ではなぜたくみさんは0＜t＜1を考えたのですか？
T yuta 0
単調増加でなぜって、単調増加だから最小値1なのになぁ
線分言うてるのに思いっきりつき抜かしやがったたくみさんwwwwww
ネタですよねwwwwww
直線PQの中にもちろん線分PQがあるのでこの問題の図的にはアリだと思います
確かに大枠と考えれば設問を解く上では全く問題ないですが、ちょっとネタとしてやったのかなと思いましたww
細かいところを追跡してごめんなさい。
今日の京大の問題に似てる
なんか若干文字が薄くて見えにくいかな。他の視聴者の方は知らないけど
相加相乗平均を使うときはtとl^2/tが0以上とゆう事を示さないと駄目じゃないですか？
メリオダス 両方とも正なのは自明だからわざわざ言ってないのかもね。でも本番は書くべきだね
L^2/4って一瞬で出た
ぼくもまぢゅつちになりた〜い！
ぼくもなりた〜い！
アメトーク
マーカープレゼントしたいです。
hideki ono 僕からも
かしこい
さすがにインク薄過ぎる…
コメントしろDGA